Сколько длятся формальности перед там как заберут в армию, и с какого момента начинает течь срок службы?

Это зависит только от вас. Если вы сами заинтересованы в том, что бы уйти в армию до 15 июля, то призывные мероприятия вы можете начать проходить заранее. Основное это конечно пройти медицинское освидетельствование, но если у вас нет никаких проблем со здоровьем, то можете уложиться в 1 день. Правда перед этим нужно пройти клинико-лабораторные исследования, т.е. анализы, рентген.... А началом срока военной службы по призыву, как совершенно правильно написали последние двое коллег, является день присвоения вам воинского звания рядового. А происходит это присвоение как правило в день отправки со сборного пункта субъекта, когда приказом обл военкома вам будет присвоено это звание. Т.е. как правило эти два события совпадают по времени, но, как говорит уважаемый DedAl, могут быть некоторые варианты. ну и вернетесь вы со службы ровно через 12 месяцев. День в день, вернее будете исключены из списков личного состава части, а вот когда доберетесь до дома тоже уже будет зависеть только от вас.